Matemático sugiere un esquema para resolver ecuaciones telegráficas

 

Un matemático de la Universidad RUDN sugirió un esquema de diferencia estable para resolver problemas inversos para ecuaciones diferenciales y de telégrafo elíptico que se utilizan para describir procesos biológicos, físicos y sociológicos. Los resultados del estudio se publicaron en la revista Numerical Methods for Partial Differential Equations.

Las ecuaciones elípticas son una clase de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales que se utilizan, entre otras cosas, para modelar procesos independientes del tiempo. Las ecuaciones telegráficas se presentan de forma no estacionaria. Inicialmente se obtuvieron para una línea de comunicación telegráfica, pero hoy en día también se utilizan para modelar el movimiento de insectos, el flujo de sangre a través de las venas y los cambios sufridos por los materiales de construcción. Además, pueden invertirse, es decir, utilizarse para encontrar una fuente de cambios basada en características de proceso conocidas, por ejemplo, para identificar una causa de daño material o para crear una imagen de tomografía óptica con fines de diagnóstico médico. A menudo es difícil obtener soluciones precisas para problemas como estos; por tanto, el problema inicial se reduce a un sistema de ecuaciones más simples que dan una respuesta con cierto grado de aproximación a la correcta. Un matemático de la Universidad RUDN sugirió un algoritmo para obtener soluciones de problemas inversos para ecuaciones de telégrafo elíptico usando una computadora.

"Cuanto más complejo es un sistema modelado, más parámetros desconocidos contiene y más difíciles son los cálculos. Sin embargo, a pesar de la complejidad de la tarea, las computadoras modernas pueden usarse para buscar soluciones aproximadas a ecuaciones diferenciales. esquemas de diferencias estables absolutas para la solución aproximada del problema de identificación espacial para las ecuaciones de telégrafo elíptico. Nuestro trabajo podría ayudar a implementar aún más estos métodos en el modelado de varios procesos ", dijo el profesor Allaberen Ashyralyev, Ph.D. en Física y Matemáticas por el Departamento de Matemática Superior de la Universidad RUDN.

Una forma de obtener una solución aproximada es reemplazar el problema inicial con esquemas de diferencias. El área estudiada se convierte en una cuadrícula con un tamaño de paso dado y las funciones se reemplazan con valores de nodo. El matemático sugirió un esquema de diferencias y luego lo estudió tanto analítica como numéricamente. El primer método se utilizó para confirmar la estabilidad absoluta del esquema y el segundo (un experimento numérico, es decir, una ecuación a la que se aplicó el esquema) para respaldar los resultados del análisis. El científico logró demostrar que el esquema era absolutamente estable e independiente del tamaño del paso de cálculo elegido.

"Se utilizan ecuaciones de telégrafo elíptico similares para modelar sistemas biológicos, fenómenos sociológicos y procesos de ingeniería. Un esquema de diferencia estable absoluta podría ayudar a los especialistas a estudiar mejor estos temas", añadió el profesor Allaberen Ashyralyev de la Universidad RUDN.