División de un segmento entre una razón dada

En matemática, cuando hablamos de razón queremos denotar que estamos comparando dos cantidades. Así, por ejemplo, la razón 3/4=0,75 nos dice cuántas veces contiene el numeror al denominador 

En geometría, describimos un punto P que divide un segmento AB en dos partes, tal que su razón es

Ahora veamos cómo calcular las coordenadas de un punto P(x,y) que divide a un segmento AB en un sistema cartesiano
Observemos la siguiente figura:

 Al trasponer términos, obtenemos la razón:

De esta última expresión, despejamos x:


De manera análoga, podemos obtener la coordenada si trazamos perpendiculares al eje Y, esto es

Las coordenadas de un punto P(x,y) que divide al segmento A(x1,y1) y B(x2,y2) en la razón son




con r ≠-1

Notas:
En geometría analítica se debe considerar el signo de r, ya que tratamos con segmentos dirigidos.
Si el punto de división P es externo al segmento dirigido AB, entonces r es negativa (AP y PB tienen sentidos contrarios)

Ejemplo:

Obtener las coordenadas del punto que divide al segmento con extremos A(3,-1) y B(-5,5) en la razón r=3/5.

Solución:

x₁= 3

x₂=-5

y₁= -1

y₂=5

El punto de división se encuentra en P(0,5/4), como se puede verse en la figura:

 Vamos a definir el segmento como se vio en esta entrada
Definimos un Segmento definiendo los puntos con los comandos A =(3,-1) y B =(-5,5) más el comando Segmento[A,B]. Del mismo modo, definimos r=3/5

Posteriormente procedemos a calcular cada coordenada del punto de división con el siguiente comando:

P=((x(A)+r*x(B))/(1+r), (y(A)+r*y(B))/(1+r))

y de esta forma se crea el punto de división P: