En 2019, Booker, de la Universidad de Bristol, y Sutherland, científico investigador principal del MIT, fueron los primeros en encontrar la respuesta a 42. El número tiene un significado de cultura pop como la respuesta ficticia a "la pregunta fundamental de la vida, el universo , y todo ", como escribió Douglas Adams en su novela" La guía del autoestopista galáctico ". La pregunta que engendra 42, al menos en la novela, es frustrante e hilarantemente desconocida.
En matemáticas, por pura coincidencia, existe una ecuación polinomial cuya respuesta, 42, había eludido de manera similar a los matemáticos durante décadas. La ecuación x3 + y3 + z3 = k se conoce como el problema de la suma de cubos. Aunque aparentemente sencilla, la ecuación se vuelve exponencialmente difícil de resolver cuando se enmarca como una "ecuación diofántica", un problema que estipula que, para cualquier valor de k, los valores de x, y y z deben ser números enteros.
Cuando la ecuación de suma de cubos se enmarca de esta manera, para ciertos valores de k, las soluciones enteras para x, y y z pueden crecer hasta números enormes. El espacio numérico en el que los matemáticos deben buscar estos números es aún mayor, lo que requiere cálculos intrincados y masivos.
A lo largo de los años, los matemáticos se las habían arreglado a través de varios medios para resolver la ecuación, ya sea encontrando una solución o determinando que no debía existir una solución, para cada valor de k entre 1 y 100, excepto 42.
En septiembre de 2019, Booker y Sutherland, aprovechando la potencia combinada de medio millón de computadoras domésticas en todo el mundo, encontraron por primera vez una solución a 42. El avance ampliamente reportado estimuló al equipo a abordar una solución aún más difícil, y de alguna manera más problema universal: encontrar la siguiente solución para 3.
Booker y Sutherland han publicado las soluciones para 42 y 3, junto con varios otros números superiores a 100, esta semana en las Actas de la Academia Nacional de Ciencias.
Recogiendo el guante
Las dos primeras soluciones para la ecuación x3 + y3 + z3 = 3 pueden ser obvias para cualquier estudiante de álgebra de secundaria, donde x, y y z pueden ser 1, 1 y 1, o 4, 4 y -5. Sin embargo, encontrar una tercera solución ha dejado perplejos a los teóricos de los números expertos durante décadas, y en 1953 el acertijo llevó al matemático pionero Louis Mordell a hacer la pregunta: ¿Es posible saber si existen otras soluciones para 3?
"Esto fue algo así como Mordell arrojando el guante", dice Sutherland. "El interés en resolver esta cuestión no es tanto por la solución en particular, sino por comprender mejor qué tan difíciles son estas ecuaciones para resolver. Es un punto de referencia con el que podemos medirnos".
A medida que pasaban las décadas sin nuevas soluciones para 3, muchos empezaron a creer que no había ninguna. Pero poco después de encontrar la respuesta a 42, el método de Booker y Sutherland, en un tiempo sorprendentemente corto, dio como resultado la siguiente solución para 3:
5699368212219623807203 + (-569936821113563493509) 3 + (-472715493453327032) 3 = 3
El descubrimiento fue una respuesta directa a la pregunta de Mordell: Sí, es posible encontrar la siguiente solución a 3 y, lo que es más, aquí está esa solución. Y quizás de manera más universal, la solución, que involucra números gigantes de 21 dígitos que no fueron posibles de tamizar hasta ahora, sugiere que existen más soluciones para 3 y otros valores de k.
"Hubo serias dudas en las comunidades matemáticas y computacionales, porque [la pregunta de Mordell] es muy difícil de probar", dice Sutherland. "Los números se vuelven tan grandes tan rápido. Nunca encontrarás más que las primeras soluciones. Pero lo que puedo decir es que, habiendo encontrado esta única solución, estoy convencido de que hay infinitas más".
El giro de una solución
Para encontrar las soluciones para 42 y 3, el equipo comenzó con un algoritmo existente, o un giro de la ecuación de suma de cubos en una forma que creían que sería más manejable de resolver:
k - z3 = x3 + y3 = (x + y) (x2 - xy + y2)
Este enfoque fue propuesto por primera vez por el matemático Roger Heath-Brown, quien conjeturó que debería haber infinitas soluciones para cada k adecuado. El equipo modificó aún más el algoritmo al representar x + y como un único parámetro, d. Luego redujeron la ecuación dividiendo ambos lados por dy manteniendo solo el resto —una operación en matemáticas denominada "módulo d" - dejando una representación simplificada del problema.
"Ahora puede pensar en k como una raíz cúbica de z, módulo d", explica Sutherland. "Así que imagina trabajar en un sistema aritmético en el que solo te importa el resto módulo d, y estamos tratando de calcular una raíz cúbica de k".
Con esta versión más elegante de la ecuación, los investigadores solo necesitarían buscar valores de dyz que garantizarían encontrar las soluciones finales ax, y y z, para k = 3. Pero aún así, el espacio de números en el que tendrían que buscar sería infinitamente grande.
Por lo tanto, los investigadores optimizaron el algoritmo mediante el uso de técnicas matemáticas de "tamizado" para reducir drásticamente el espacio de posibles soluciones para d.
"Se trata de una teoría de números bastante avanzada, que utiliza la estructura de lo que sabemos sobre los campos numéricos para evitar buscar en lugares donde no necesitamos mirar", dice Sutherland.
Una tarea global
El equipo también desarrolló formas de dividir de manera eficiente la búsqueda del algoritmo en cientos de miles de flujos de procesamiento en paralelo. Si el algoritmo se ejecutara en una sola computadora, habría llevado cientos de años encontrar una solución para k = 3. Al dividir el trabajo en millones de tareas más pequeñas, cada una de las cuales se ejecuta de forma independiente en una computadora separada, el equipo podría acelerar aún más su búsqueda.
En septiembre de 2019, los investigadores pusieron en práctica su plan a través de Charity Engine, un proyecto que se puede descargar como una aplicación gratuita en cualquier computadora personal, y que está diseñado para aprovechar cualquier poder de computación en el hogar para resolver colectivamente problemas matemáticos difíciles. En ese momento, la red de Charity Engine comprendía más de 400.000 computadoras en todo el mundo, y Booker y Sutherland pudieron ejecutar su algoritmo en la red como prueba de la nueva plataforma de software de Charity Engine.
"Para cada computadora en la red, se les dice, 'su trabajo es buscar d's cuyo factor principal esté dentro de este rango, sujeto a algunas otras condiciones'", dice Sutherland. "Y tuvimos que averiguar cómo dividir el trabajo en aproximadamente 4 millones de tareas, cada una de las cuales tardaría unas tres horas en completarse".
Muy rápidamente, la cuadrícula global devolvió la primera solución a k = 42, y solo dos semanas después, los investigadores confirmaron que habían encontrado la tercera solución para k = 3, un hito que marcaron, en parte, al imprimir la ecuación en camisetas.
El hecho de que exista una tercera solución para k = 3 sugiere que la conjetura original de Heath-Brown era correcta y que hay infinitamente más soluciones más allá de esta última. Heath-Brown también predice que el espacio entre soluciones crecerá exponencialmente, junto con sus búsquedas. Por ejemplo, en lugar de los valores de 21 dígitos de la tercera solución, la cuarta solución para x, y y z probablemente involucrará números con 28 dígitos asombrosos.
"La cantidad de trabajo que tiene que hacer para cada nueva solución aumenta en un factor de más de 10 millones, por lo que la próxima solución para 3 necesitará 10 millones de veces 400,000 computadoras para encontrarla, y no hay garantía de que sea suficiente", dice Sutherland. . "No sé si alguna vez conoceremos la cuarta solución. Pero sí creo que está ahí".
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