Matemáticos prueban las desigualdades de Hardy-Littlewood-Sobolev

Los matemáticos de la Universidad RUDN han demostrado las desigualdades de Hardy-Littlewood-Sobolev (HLS) para la clase de potenciales Riesz generalizados. Estos resultados amplían el alcance de estos potenciales en matemáticas y física porque las principales herramientas para trabajar con tales potenciales se basan en las desigualdades de HLS. Las nuevas herramientas matemáticas pueden simplificar enormemente los cálculos en mecánica cuántica y otros campos de la física. Los resultados del estudio se publican en la revista Mathematical Notes.

La física moderna describe el mundo en términos de campos y sus potenciales, es decir, los valores del campo en cada punto. Pero las cantidades físicas que podemos medir son fuerzas y aceleraciones, es decir, derivadas del potencial de segundo orden del campo correspondiente. El problema de reconstruir la configuración del campo con los valores disponibles de fuerzas y aceleraciones observados en los experimentos es complejo y no siempre se puede resolver analíticamente. Operaciones de diferenciación en espacio multidimensional: los operadores se utilizan generalmente para describir la correlación entre el potencial del campo y las fuerzas. En particular, las interacciones electromagnéticas y gravitacionales se describen en el lenguaje de los operadores.

Dado que el potencial del campo se puede determinar hasta un valor constante, para la conveniencia de los cálculos, el valor inicial del potencial se toma en algún punto en el espacio multidimensional, o en el borde de cualquier área espacial. Pero en algunos casos, los modelos matemáticos de tales campos conducen a una singularidad, es decir, en algunos puntos el valor del campo se vuelve infinito y, por lo tanto, pierde su significado físico.

Vagif Guliyev, investigador del Instituto de Matemáticas Nikol'skii de la Universidad RUDN, y sus colegas trabajaron en el desarrollo de métodos que permitan restaurar la configuración del potencial de campo utilizando solo métodos analíticos.

Los matemáticos de la Universidad RUDN estudiaron uno de los casos importantes para el desarrollo de la teoría cuántica: las condiciones necesarias y suficientes para la delimitación del potencial Riesz generado por el operador diferencial Gegenbauer en espacios lebesgos ponderados Lp, λ. Su estudio desarrolla y complementa la prueba anterior del teorema de Hardy-Littlewood-Sobolev para el potencial Gegenbauer.

Los operadores definidos por los potenciales Riesz tienen muchas aplicaciones en física: los potenciales Riesz incluyen, por ejemplo, el potencial electrostático.

La prueba de la desigualdad de Hardy-Littlewood-Sobolev para los potenciales de Riesz generalizados significa que los físicos y los matemáticos tienen una herramienta que les ayudará a determinar de antemano, antes de realizar cálculos laboriosos, si es posible calcular analíticamente la configuración del campo con los valores disponibles de fuerzas, y no para obtener una singularidad.

Los resultados del estudio pueden usarse en física para determinar las condiciones bajo las cuales es posible restaurar la imagen espacial de campos físicos de diferente naturaleza, por ejemplo, en el campo de la electrodinámica cuántica.