¿Son las matemáticas una forma eficaz de describir el mundo?

 

Se ha llamado a las matemáticas el lenguaje del universo. Los científicos e ingenieros a menudo hablan de la elegancia de las matemáticas cuando describen la realidad física, citando ejemplos como π, E = mc2 e incluso algo tan simple como usar números enteros abstractos para contar objetos del mundo real. Sin embargo, si bien estos ejemplos demuestran cuán útiles pueden ser las matemáticas para nosotros, ¿significa que el mundo físico sigue naturalmente las reglas de las matemáticas como su "lengua materna", y que estas matemáticas tienen su propia existencia que está ahí afuera esperando ser descubiertas? Este punto de vista sobre la naturaleza de la relación entre las matemáticas y el mundo físico se llama platonismo, pero no todos están de acuerdo con él.

Derek Abbott, profesor de ingeniería eléctrica y electrónica en la Universidad de Adelaide en Australia, ha escrito un artículo en perspectiva que se publicará en Proceedings of the IEEE en el que argumenta que el platonismo matemático es una visión inexacta de la realidad. En cambio, defiende el punto de vista opuesto, la noción no platónica de que las matemáticas son un producto de la imaginación humana que adaptamos para describir la realidad.

Este argumento no es nuevo. De hecho, Abbott estima (a través de sus propias experiencias, en una encuesta ciertamente no científica) que mientras que el 80% de los matemáticos se inclinan hacia una visión platónica, los ingenieros en general no son platónicos. Los físicos tienden a ser "no platónicos encerrados", dice, lo que significa que a menudo parecen platónicos en público. Pero cuando se le presiona en privado, dice que "a menudo puede extraer una confesión no platónica".

Entonces, si los matemáticos, ingenieros y físicos pueden lograr realizar su trabajo a pesar de las diferencias de opinión sobre este tema filosófico, ¿por qué realmente importa la verdadera naturaleza de las matemáticas en su relación con el mundo físico?

La razón, dice Abbott, es porque cuando reconoces que las matemáticas son solo una construcción mental, solo una aproximación de la realidad que tiene sus debilidades y limitaciones y que se romperá en algún momento porque las formas matemáticas perfectas no existen en el universo físico —Entonces puede ver lo ineficaces que son las matemáticas.

Y ese es el punto principal de Abbott (y el más controvertido): que las matemáticas no son excepcionalmente buenas para describir la realidad, y definitivamente no son el "milagro" del que algunos científicos se han maravillado. Einstein, un matemático no platónico, fue un científico que se maravilló del poder de las matemáticas. Preguntó: "¿Cómo puede ser que las matemáticas, siendo después de todo un producto del pensamiento humano que es independiente de la experiencia, sean tan admirablemente apropiadas para los objetos de la realidad?" 

En 1959, el físico y matemático Eugene Wigner describió este problema como "la efectividad irrazonable de las matemáticas". En respuesta, el artículo de Abbott se llama "La ineficacia razonable de las matemáticas". Ambos puntos de vista se basan en la idea no platónica de que las matemáticas son una invención humana. Pero mientras que Wigner y Einstein podrían considerarse optimistas matemáticos que notaron todas las formas en que las matemáticas describen de cerca la realidad, Abbott señala con pesimismo que estos modelos matemáticos casi siempre se quedan cortos.

¿Cómo son exactamente las "matemáticas efectivas"? Abbott explica que las matemáticas efectivas proporcionan representaciones compactas e idealizadas del mundo físico inherentemente ruidoso.

"Las expresiones matemáticas analíticas son una forma de hacer descripciones compactas de nuestras observaciones", dijo a Phys.org. "Como seres humanos, buscamos esta 'compresión' que nos brindan las matemáticas porque tenemos un poder cerebral limitado. Las matemáticas son efectivas cuando brindan expresiones simples y compactas que podemos aplicar con regularidad a muchas situaciones. Es ineficaz cuando no logran cumplir esa compacidad elegante Es esa compacidad lo que lo hace útil / práctico ... si podemos conseguir esa compresión sin sacrificar demasiada precisión.

"Yo sostengo que hay muchos más casos en los que las matemáticas son ineficaces (no compactas) que cuando son efectivas (compactas). Las matemáticas solo tienen la ilusión de ser efectivas cuando nos enfocamos en los ejemplos exitosos. Pero nuestros ejemplos exitosos quizás solo se apliquen a una pequeña porción de todas las posibles preguntas que podríamos hacernos sobre el universo ".

Algunos de los argumentos del artículo de Abbott se basan en las ideas del matemático Richard W. Hamming, quien en 1980 identificó cuatro razones por las que las matemáticas no deberían ser tan efectivas como parece. Aunque Hamming se resignó a la idea de que las matemáticas son irrazonablemente efectivas, Abbott muestra que las razones de Hamming en realidad apoyan el no platonismo dado un nivel reducido de efectividad matemática.

Aquí hay algunas de las razones de Abbott por las que las matemáticas son razonablemente ineficaces, que se basan en gran medida en el punto de vista no platónico de que las matemáticas son una invención humana:

• Las matemáticas parecen tener éxito porque seleccionamos cuidadosamente los problemas para los que hemos encontrado una manera de aplicar las matemáticas. Probablemente ha habido millones de modelos matemáticos fallidos, pero nadie les presta atención. ("Un genio", escribe Abbott, "es simplemente alguien que tiene una gran idea, pero tiene el sentido común para guardar silencio sobre sus otros mil pensamientos locos").

• Nuestra aplicación de las matemáticas cambia a diferentes escalas. Por ejemplo, en la década de 1970, cuando las longitudes de los transistores eran del orden de micrómetros, los ingenieros podían describir el comportamiento de los transistores mediante elegantes ecuaciones. Los transistores submicrométricos actuales implican efectos complicados que los modelos anteriores descuidaron, por lo que los ingenieros han recurrido al software de simulación por computadora para modelar transistores más pequeños. Una fórmula más efectiva describiría transistores en todas las escalas, pero no existe una fórmula tan compacta.

• Aunque nuestros modelos parecen aplicarse a todas las escalas de tiempo, quizás creamos descripciones sesgadas por la duración de nuestra vida humana. Por ejemplo, vemos al Sol como una fuente de energía para nuestro planeta, pero si la esperanza de vida humana fuera tan larga como el universo, tal vez el Sol parecería ser una fluctuación de corta duración que rápidamente lleva a nuestro planeta a un equilibrio térmico consigo mismo como "explota" en un gigante rojo. Desde esta perspectiva, la Tierra no extrae energía neta útil del Sol.

• Incluso contar tiene sus límites. Al contar los plátanos, por ejemplo, en algún momento el número de plátanos será tan grande que la atracción gravitacional de todos los plátanos los atrae hacia un agujero negro. En algún momento, ya no podemos confiar en los números para contar.

• ¿Y qué hay del concepto de números enteros en primer lugar? Es decir, ¿dónde termina un plátano y comienza el siguiente? Si bien creemos que conocemos visualmente, no tenemos una definición matemática formal. Para llevar esto a su extremo lógico, si los humanos no fueran sólidos sino gaseosos y vivieran en las nubes, contar objetos discretos no sería tan obvio. Por tanto, los axiomas basados ​​en la noción de conteo simple no son innatos a nuestro universo, sino que son una construcción humana. Entonces, no hay garantía de que las descripciones matemáticas que creamos sean de aplicación universal.

Para Abbott, estos puntos y muchos otros que hace en su artículo muestran que las matemáticas no son un descubrimiento milagroso que se ajusta a la realidad con una regularidad incomprensible. Al final, las matemáticas son una invención humana que es útil, limitada y funciona tan bien como se esperaba.

Para aquellos que buscan algo más práctico de tal discusión, Abbott explica que esta comprensión puede permitir una mayor libertad de pensamiento. Un ejemplo es una mejora de las operaciones vectoriales. El método actual implica productos de puntos y cruzados, una herramienta "bastante torpe" que no se generaliza a dimensiones superiores. Últimamente ha habido un interés renovado en un enfoque alternativo llamado álgebra geométrica, que supera muchas de las limitaciones de los productos de puntos y cruces y puede extenderse a dimensiones más altas. Abbott está trabajando actualmente en un documento tutorial sobre álgebra geométrica para ingenieros eléctricos que se publicará en un futuro próximo.