Patrones ilusorios en matemáticas explicados por ideas en física

 

La "erosión" de la densidad de probabilidad de los caminantes aleatorios en el origen en el octavo paso de tiempo (N ≥ 8, no se muestra) ofrece cierta intuición física sobre por qué un patrón encontrado en algunas integrales de Borwein se rompe repentinamente en el mismo punto. Crédito: Majumdar y Trizac. © 2019 Sociedad Estadounidense de Física

Los patrones aparecen ampliamente en la naturaleza y las matemáticas, desde las espirales de Fibonacci de conchas marinas hasta la periodicidad de los cristales. Pero ciertos problemas matemáticos a veces pueden engañar al solucionador humano para que vea un patrón, pero luego, de la nada, el patrón desaparece repentinamente. Estos patrones ilusorios surgen en muchas áreas de las matemáticas, con un ejemplo proveniente de ciertas integrales de cálculo que han engañado la intuición incluso de los mejores matemáticos. 

Ahora, en un nuevo estudio, dos físicos se han acercado a estas integrales utilizando el concepto físico de paseos aleatorios. Mientras que resolver estas integrales generalmente requiere una gran cantidad de esfuerzo e ingenio, los físicos han demostrado que el nuevo enfoque puede encontrar soluciones de manera intuitiva y, a veces, incluso sin la necesidad de cálculos explícitos.

Los físicos Satya N. Majumdar y Emmanuel Trizac de la Universidad de Paris-Sud, CNRS, en Francia, han publicado un artículo sobre el uso de caminantes aleatorios para resolver integrales en un número reciente de Physical Review Letters.

"Hemos demostrado que el conocimiento de la física nos permite obtener de forma libre de cálculos una gran cantidad de integrales curiosas y, además, obtener identidades previamente desconocidas (integrales o igualdades entre sumas e integrales discretas)", dijo Trizac a Phys. org. "Nuestro trabajo revela que cuando se engaña la intuición matemática, la intuición física puede salvar el día".

Patrones en integrales de Borwein

Las integrales en cuestión (ver figura) son "integrales de Borwein", llamadas así por David y Jonathan Borwein (padre e hijo), quienes notaron patrones inusuales en ellas en 2001. Las integrales de Borwein involucran el producto de funciones sinc (seno cardinal), que tienen aplicaciones extendidas, como en óptica, procesamiento de señales y otras áreas. Estas dos integrales particulares se pueden utilizar para calcular los volúmenes de hipercubos.

Resolver las integrales de Borwein implica sustituir números por la variable n. Cada número da un valor de solución diferente, lo que permite a los matemáticos observar patrones en la secuencia de valores resultante. Por ejemplo, para la primera integral (In), cuando sustituye los números n = 1-7, obtiene la respuesta π cada vez. Pero cuando llegas a n = 8, la respuesta es ligeramente menor que π (aproximadamente π - 10^-10). La primera vez que los matemáticos calcularon este valor en una computadora, pensaron que debía haber un error en el software. Pero la respuesta fue confirmada, y los términos subsiguientes (para n = 9, 10, etc.) se vuelven cada vez más pequeños. 

Algunos patrones persisten aún más. Para la segunda integral, Jn, los primeros 56 términos de la secuencia (obtenidos al sustituir los números del 1 al 56 por n) son todos π / 2. Pero el término 57 es aproximadamente π / 2—10^-110, y los términos subsiguientes continúan disminuyendo. (Las cosas pueden volverse aún más extremas: para una variante de las integrales de Borwein, que no se discuten aquí, un patrón de valor constante es válido para unos asombrosos primeros 10¹⁷⁶ términos de la secuencia, después de lo cual el patrón finalmente se rompe).

Los matemáticos pueden explicar por qué estos patrones se rompen repentinamente, al menos en términos matemáticos. Observe que las dos integrales de Borwein anteriores contienen la función sinc (ank), donde an = 1 / (2n — 1). Si sustituye los números 1, 2, 3,… por n en esta expresión, obtiene la secuencia 1, 1/3, 1/5, 1/7, 1/9, .... Los Borwein notaron que el primer término, 1, no solo es más grande que todos los demás términos que vienen después, sino que es incluso más grande que la suma de los siguientes términos: del segundo al séptimo, para ser exactos, como 1 / 3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/11 + 1/13 = 0.955…, que es menor que 1. Pero al agregar el octavo término, 1/15, a esta suma, la respuesta es 1.02 …, Entonces justo encima de 1. Resulta que no es una coincidencia que el séptimo término sea el último término para el que la integral se evalúa como π, y el octavo término es el punto en el que se rompe el patrón.

Borweins demostró un teorema (ver figura) que establece esta idea en términos más generales. El teorema es válido también para la segunda integral, Jn. Teniendo en cuenta la función coseno en Jn cambia la expresión anterior a 2 / (2n — 1), debido a la propiedad cos (a) sinc (a) = sinc (2a), de modo que el primer término es 2 en lugar de 1. Como la suma de los términos del segundo al 56 de la expresión es menor que 2, pero la suma del término 57 empuja la suma por encima de 2, el teorema se cumple.

Caminantes aleatorios

Aunque el teorema ayuda a explicar cuándo se rompen los patrones temporales de las integrales de Borwein, todavía no está completamente claro por qué se cumple el teorema en primer lugar.

En el nuevo artículo, Majumdar y Trizac han ofrecido algo de intuición física sobre el teorema al conectarlo con algunos conceptos bien entendidos en teoría de probabilidad y mecánica estadística. Notaron que la integral en el teorema tiene vínculos estrechos con la distribución de probabilidad uniforme, que se usa ampliamente en toda la ciencia. Específicamente, la transformada de Fourier de la distribución de probabilidad uniforme pasa a ser solo la función sinc, lo que produce la integral de Borwein para n = 1. Esta conexión une las integrales de Borwein con el mundo físico, de modo que al usar parámetros relevantes, los eventos que siguen La distribución uniforme se puede utilizar para modelar la secuencia de soluciones de las integrales de Borwein.

Para describir esta conexión en un contexto más físico, los investigadores observaron caminantes aleatorios. Un caminante aleatorio es un objeto abstracto que puede moverse una cierta distancia en cualquier dirección, donde la distancia exacta se elige al azar de un intervalo continuo de valores, y cada uno de estos valores tiene la misma probabilidad de ser elegido (es decir, sigue una distribución uniforme ). Los caminantes aleatorios pueden modelar con precisión una variedad de fenómenos aleatorios, como los precios del mercado de valores, los caminos de los animales en busca de alimento y los caminos de las moléculas en un gas, que ocurren en una, dos o tres dimensiones, respectivamente.

En el nuevo artículo, los físicos muestran que los movimientos de una infinidad de caminantes aleatorios se pueden utilizar para modelar la aparición y desaparición de los patrones en las integrales de Borwein. Para comenzar, todos los caminantes aleatorios comienzan en el punto cero en la recta numérica unidimensional. Para el primer paso, cada caminante puede moverse una distancia aleatoria de hasta 1 unidad, ya sea hacia la izquierda o hacia la derecha. Para el segundo paso, cada caminante puede moverse una distancia aleatoria de hasta 1/3, luego una distancia aleatoria de hasta 1/5, luego 1/7, 1/9, etc. Es decir, cada distancia de paso permitida sucesiva corresponde al siguiente valor de la expresión 1 / (2n — 1).

La pregunta principal es, ¿cuál es la fracción de caminantes aleatorios en el punto de partida (el origen) después de cada paso de tiempo? Resulta que la fracción (más precisamente, la densidad de probabilidad) de los caminantes en el origen en cada paso de tiempo n corresponde a la solución de la integral de Borwein usando el mismo valor n.

Como explican los físicos, para los primeros siete pasos, la densidad de probabilidad de que un caminante termine en el origen es siempre ½, que a través del teorema anterior corresponde a un valor integral de π. La idea clave es que, hasta este momento, la densidad de caminantes en el origen es la misma que si toda la recta numérica estuviera poblada de manera uniforme por caminantes. En realidad, como la distancia máxima de cada paso está restringida, solo se puede acceder a una parte de la recta numérica, es decir, el mundo de los caminantes es finito.

Sin embargo, durante los primeros siete pasos, los caminantes en el origen perciben que su mundo es infinito, ya que no poseen ninguna información sobre la existencia de fronteras que indique que el mundo es finito. Esto se debe a que ninguno de los caminantes que alcanzaron el límite exterior de su mundo (+1 o -1 después del primer paso) habría podido regresar al punto de partida en menos de siete pasos, incluso si hubieran tomado el tamaño máximo. pasos permitidos y todos en la dirección hacia el punto de partida. Como estos caminantes tenían cero probabilidades de aparecer en el punto de partida antes del octavo paso, no pudieron afectar la fracción de caminantes aleatorios en el punto de partida. Entonces, para los primeros siete pasos, la densidad de caminantes en el origen se fija en ½ (está "protegida").

Pero una vez que los caminantes que han alcanzado +1 o -1 regresan al origen, la situación cambia. Después del octavo paso, es posible que algunos de estos caminantes regresen al punto de partida. Ahora estos caminantes actúan como "mensajeros" en el sentido de que su regreso al punto de partida revela la existencia de un límite, diciendo a los otros caminantes en el origen que su mundo es finito, y por lo tanto influyendo en la densidad de caminantes en el origen.

Dado que estos caminantes mensajeros regresaron al punto de partida, queda claro que algunos otros caminantes que llegaron al límite no regresaron, sino que pudieron haber continuado alejándose más. Como resultado, la distribución de probabilidad se vuelve más dispersa, lo que hace que la fracción de caminantes en el origen se erosione gradualmente desde ½ (o π para la integral). Es esta erosión la que explica por qué los valores de la primera integral de Borwein disminuyen ligeramente para n ≥ 8. Un argumento similar es válido para la segunda integral de Borwein (ver video).

Al conectar las integrales de Borwein a las probabilidades de caminantes aleatorios, los nuevos resultados ofrecen un enfoque completamente diferente para resolver estas integrales que a través del cálculo directo. Los físicos demostraron que el mismo enfoque se puede aplicar a muchas otras integrales además de las dos descritas aquí, incluidas las extensiones a dimensiones superiores. Los investigadores esperan que el enfoque tenga el potencial de proporcionar soluciones sin cálculo a muchas otras integrales que de otra manera serían muy difíciles de resolver.

“Los problemas de caminatas al azar y sus infinitas ramificaciones forman una de las piedras angulares de la física moderna con una amplia gama de aplicaciones en física, química, biología, ingeniería, etc.”, dijo Trizac. "Dado que nuestra derivación de integrales intrigantes implica conceptos básicos de la teoría del paseo aleatorio, esperamos que nuevas identidades e integrales, con aplicaciones del mundo real, puedan derivarse utilizando nuestra idea clave en un futuro próximo".